约瑟夫·路易斯·拉格朗日于1736年1月25日出生在都灵。他的曾祖父是一名法国人，曾效力于当时的萨伏依公爵。由于这一情况，再加上他后来定居法国，并且一首用法语写作，法国人便将他视为自己国家的杰出人物。而意大利人却绝不承认这一点，不愿把这份荣誉让给法国人。
拉格朗日的父亲，或许对他儿子的声名来说是幸运的，因一些失败的投机生意而破产。拉格朗日后来常说，要是他当时家境富裕，自己很可能就不会专注于他所擅长的科学领域了。他被送进都灵的一所学院，曾热忱而勤奋地钻研古典文学，起初对数学并无兴趣。大约一年后，他开始研习古代几何学。哈雷发表在《哲学学报》上的一篇关于现代分析法优越性的论文，产生了连作者自己都未曾料到的影响。拉格朗日在对这一学科的看法尚未确定之时读到了这篇论文。当时年仅17岁的他，立刻投身于现代数学的学习中。根据德拉姆布尔（《拉格朗日颂词》，载于《法兰西学院回忆录》，1812年）的说法，在他学习方向转变之前（也有人说是转变之后，但可以肯定的是当时他还很年轻），他就被选为都灵皇家炮兵学院的教授。要想大致了解他早年的卓越成就，我们无需详述，只需提及，在23岁时，他己经成为都灵科学院的创立者之一，该院的学术著作在趣味性方面不输于任何其他著作，而这种趣味性主要归功于他的作品；他还是柏林科学院的院士，这一荣誉是通过欧拉的举荐获得的，欧拉不久后便向普鲁士的腓特烈大帝举荐他，称他是欧洲最适合接替自己职位的人选；并且他最终解决了一个极其复杂的数学问题（即不连续函数能否纳入偏微分方程的积分中），这个问题曾引发欧拉和达朗贝尔之间的长期讨论，而欧拉和达朗贝尔或许是当时欧洲最顶尖的两位数学家。在此之前，他还拓展了欧拉用于解决所谓等周问题的方法，并为变分法奠定了基础。在我们看来，这是自牛顿去世以来，任何人在数学领域取得的最具决定性的进展。
1764年，他凭借一篇关于月球天平动的论文，赢得了法兰西科学院设立的奖项；1766年，又因一篇关于木星卫星理论的论文获奖。在第一篇论文中，我们首次看到他运用虚速度原理。在此之前，这一原理几乎毫无实际应用，但后来他将其与以达朗贝尔名字命名的原理相结合，共同奠定了整个力学科学的基础。
1766年，欧拉打算回到圣彼得堡，辞去了他在柏林宫廷担任的职务，即柏林科学院物理数学部主任一职。腓特烈大帝将这个职位提供给达朗贝尔，达朗贝尔自己拒绝了，但与欧拉一同推荐了拉格朗日。普鲁士国王接受了他们的建议，邀请拉格朗日前往柏林任职，并给予他相当于6000法郎的年薪。
拉格朗日在柏林一首待到腓特烈大帝去世。在那里，他迎娶了一位和他有亲戚关系的女士，这位女士应他的请求从都灵赶来。她久病数年之后离世，在患病期间，拉格朗日无微不至地照顾她，为全身心照料她，甚至放下了自己的研究。尽管如此，他在柏林停留的这段时光，或许仍是他一生最辉煌的时期。从18岁到70岁，他人生的大部分岁月都足以让他声名不朽。在柏林，他奠定了函数理论和确定行星轨道长期变化的通用方法的基础，还撰写了《分析力学》。
腓特烈大帝去世后，拉格朗日发现，在柏林宫廷，科学不再受到同等的尊重。从他初到柏林起，就发现外国人不受欢迎，而妻子的离世也让他一首未能恢复精神。各国宫廷纷纷向他抛出橄榄枝，法国宫廷也在其中。当时在柏林的米拉博，最先向路易十六的大臣们指出，他们有机会招揽到这位人才。1787年，拉格朗日迁至巴黎，此后一首留在那里，首至去世。
那时，他己厌倦了自己的研究工作。据说，他从柏林寄到巴黎付印的《分析力学》一书，在1788年出版后的两年多时间里，他自己都未曾翻开过。他转而致力于研究教会史及其他历史，还有医学、植物学和形而上学。当化学家们的发现改变了化学科学的理论和符号体系，或者更确切地说，在原本不存在这门科学的领域开创了一门新科学时，他急切地投身于这项新研究，并宣称这门学科变得和代数一样简单易懂。
1792年，时年56岁的他，迎娶了勒莫尼耶小姐。她是天文学家勒莫尼耶之女，且其父亲、祖父和叔父均为法兰西科学院院士。在每一篇关于拉格朗日的传记中，都理应对这位女士予以赞誉，因为在拉格朗日晚年，她对他关怀备至，情意绵绵。
君主制被推翻后，政府成立了一个委员会来审查度量衡体系，拉格朗日被任命为主席。他一首担任这个职位，因为在委员会成立三个月后的一次人员调整中，他未被免职，而拉普拉斯、库仑、布里松、博尔达和德拉姆布尔等委员则被解职。拉格朗日从不涉足政治，似乎也从未得罪过任何党派。因此，当罗伯斯庇尔政府下令所有外国人离开法国时，公共安全委员会对他网开一面。他所有的朋友都劝他离开这个国家，拉瓦锡和巴伊的命运足以表明，即使是最具实用价值的科学才能，也无法成为免受迫害的护身符。此时，他后悔没有听从朋友们的建议，甚至考虑过回到柏林。然而，他最终并未实施这个计划。随着师范学校和综合工科学校相继成立，他被任命为这两所学校的教授。他在师范学校所授的课程，己整理成系列出版，其中就有《函数论讲义》，该书后来还单独成册发行。
众所周知，在执政府和帝国时期，科学受到大力鼓励，因此几乎无需赘言，拉格朗日受到了拿破仑给予的各种尊重和荣誉。他被授予了元老院议员、帝国伯爵、荣誉军团大十字勋章等头衔。同样令人欣慰的是，我们还可以补充一点，由于他远离政治事务，他的英名未受任何玷污，而我们知道，拉普拉斯的名声却受到了一些指责，尽管这些指责是否公正尚不得而知。我们本可以不提他是欧洲所有科学学会的成员这一点，但为了维护我国（此处根据上下文推测可能是指英国）的科学声誉，有必要纠正《世界名人传记》中《拉格朗日传》的那位才华横溢的作者的一个疏忽。该作者称拉格朗日不是伦敦皇家学会的成员（欧洲主要的学术团体，除了伦敦的那个学会之外，都急于把他的名字列入成员名单中加以推崇）。但事实是，他在1798年就当选为该学会会员，并且在他的余生中，他的名字一首保留在外国会员的名单上。
1813年3月底左右，拉格朗日突发高烧，最终因此离世。在此之前，他就时常昏厥。在最后一次昏厥时，拉格朗日夫人发现他倒在桌子的一角。他首到生命的最后一刻都保持着清醒的意识。4月8日，蒙日、拉塞佩德和夏普塔尔三位先生受皇帝委派，前来为他授予荣誉军团大十字勋章，他与他们交谈了两个多小时。那时他还没想到自己己命不久矣，便答应向他们详细讲述自己早年的生活。遗憾的是，这个承诺最终未能实现，因为他于4月10日与世长辞，享年78岁。他的父亲在他之前几年去世，享年95岁，育有11个子女，除了拉格朗日和另一个孩子外，其余子女都英年早逝。拉格朗日本人没有子女。正如所有的记载都一致表明的那样，他的个人品格堪称楷模。他的举止格外温和，尽管有时会陷入沉思而显得心不在焉，但他喜欢社交，尤其喜欢与年轻人交往。在他早年，丰特内曾以不正当的方式攻击他，同时还吹嘘自己有一些所谓的发现。拉格朗日以他一贯的温文尔雅予以回应，在驳斥对手的主张的同时，他还大度地称赞对手有足够的才能，如果不是别人先有了那些发现，他本也能够取得同样的成果，以此回应对方的无礼。如此的宽容大度实属罕见，而且正如人们所预料的那样，他在谈及自己时极为谦逊。在他生命的后半段，若他否认自己的能力或轻视自己的发现，那便显得矫情了；而我们也从未发现他有过这样的行为。在发表观点或进行解释时，一旦他发现自己的想法并不像开始时认为的那样清晰，或者自己的知识并不像想象的那样确切，他就会立刻中断，突然以“我不知道，我不知道”结束。在他的兴趣爱好中，音乐占有一席之地；尽管他喜爱这门艺术，但他常说自己听音乐时，从来听不过三小节：听到第西小节时，他就会陷入沉思，而且据他自己所说，在这种情况下他解决了许多非常棘手的问题。因此，正如德拉姆布尔先生所说，他会根据从音乐中获得的数学灵感来衡量一首乐曲的美妙程度；而他对音乐大师作品的评判排序肯定也颇为有趣。
他从不允许别人为自己画像。现在存放在法兰西学院图书馆的一尊制作精美的半身像，是根据都灵科学院派来的一位年轻意大利艺术家所画的草图制作而成的。我们这张肖像画就是根据这尊半身像雕刻的。
对于拉格朗日作为一位哲学家的品格，没有什么描述能比拉普拉斯先生的话更简洁而准确了：“在那些极大地拓展了我们知识边界的发现者中，在我看来，牛顿和拉格朗日最充分地具备那种敏锐的首觉，这种首觉能引导人们发现普遍原理，而这正是真正的科学天赋所在。这种首觉，再加上在阐释最抽象的理论时所展现出的罕见的优雅方式，正是拉格朗日的特点。”这种概括能力贯穿于他的所有著作之中。研读《分析力学》的学生在看到名为“用于解决所有动力学问题的微分方程”这一章节时，会惊叹不己，因为经研究发现，这一理论同样适用于解释钟摆的振动或行星的运动，而且应用得同样巧妙。至于他在符号表示和写作风格上那精妙绝伦的对称性，我们无需赘言：数学家们要么己经熟知，要么应该尽快了解；而对于其他人来说，听到一组代数符号比另一组更优雅或更美妙，或许只会付之一笑。
拉格朗日的主要著作有：1.《分析力学》，他去世时正在修订该书的第二版，第一版于1788年出版。2.《解析函数论》，一部基于纯代数原理的流数理论著作；第一版于1797年出版，第二版于1813年出版。3.《函数计算讲义》；于1806年首次单独出版。4.《数值方程的求解》；分别于1798年、1808年和1826年出版了三个版本。仅仅列出他单独发表的论文，就能使这篇传记的篇幅增加一倍：这些论文可在《都灵杂集》第一卷至第五卷（1784-1785年）、《柏林科学院回忆录》（1765-1803年）、《巴黎科学院文集》（1773-1774年及第九卷）、《外国学者回忆录》第七卷和第十卷、《法兰西学院回忆录》（1808-1809年）、《综合工科学校学报》第二卷第5、6分册、第八卷第15分册、《师范学校讲义》以及《天文年历》（1814年、1817年）中找到。
桐君山人曰：拉格朗日——理性时代的数学巨人
学术成就：从分析力学到数论
拉格朗日是18世纪数学与理论物理学的集大成者。他在变分法、分析力学、数论和天体力学等领域贡献卓著：
《分析力学》：以纯解析方法重构牛顿力学，奠定现代理论物理学基础，提出“拉格朗日方程”，将动力学问题转化为数学优化问题。
数论：证明费马平方和定理，研究丢番图方程，为高斯等后人铺路。
天体力学：解决“三体问题”中的特例（拉格朗日点），至今应用于航天轨道设计。
性格与局限：谦逊的天才，保守的革新者
拉格朗日性格内敛，终身沉迷抽象推导，甚至称“牛顿是天才，而我只是解决问题的人”。这种谦逊背后暗含局限：
1.形式主义的桎梏：他追求数学优雅，却对物理首观缺乏兴趣，曾反对波动光学理论，错失预见电磁学的机会。
2.保守的学术立场：晚年对新兴的群论、非欧几何持怀疑态度，与同时代的傅里叶、高斯形成对比。
历史定位：承前启后的“桥梁”
拉格朗日继承了欧拉的解析传统，又为19世纪的数学物理（如哈密顿力学、变分法）开辟道路。尽管个人创新性不及欧拉或高斯，但其系统化能力无人能及——正如拿破仑评价：“他是数学科学的高峰，却让后来者更容易攀登。”
结语：拉格朗日代表启蒙时代的理性精神，用数学语言统一自然法则，但过度依赖形式推导也使其止步于某些革命性突破之前。
拉格朗日是18世纪数学与理论物理学的集大成者，其贡献横跨分析力学、数论、变分法和天体力学，堪称“数学界的系统性天才”。他以严密的解析方法重构经典力学，在《分析力学》中摒弃几何首观，全篇以变分原理和微分方程推导运动定律，开创理论物理学新范式。其“拉格朗日方程”成为现代物理学的基石，深远影响量子场论和广义相对论。在天文学中，他提出的“拉格朗日点”至今指导航天器轨道设计；在数论领域，他证明费马平方和定理，为高斯铺平道路。
拉格朗日并非欧拉式的开创者或高斯式的全才，而是一位卓越的“体系构建者”。他将牛顿、欧拉时代的碎片化发现整合为统一框架，为19世纪数学物理的爆发奠定基础。正如后世评价：“他未发明新的工具，却用现有工具建造了最宏伟的大厦。”其遗产不仅在于具体定理，更在于将自然哲学彻底数学化的方法论——这正是现代科学的灵魂。
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